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\title{Algebra 2 Übersicht}
\hypersetup{pdftitle={Algebra 2 Übersicht}}
\begin{document}
\centerline{\Large Algebra 2 Übersicht}
\section{Multilineare Algebra}
\subsection{Moduln}
$R$-Modul Grunddefinitionen und Beispiele
$R$-Modul Grundeigenschaften
Def: freier Modul
Projektive Moduln
Beweis: Sequenz projektiver Modul
Beweis: Sequenz injektiver Modul
Beispiele für nicht projektive / injektive Modul
Beweis: Freie Moduln sind projektiv. Jeder $R$-Modul ist Faktormodul ...
Prop+Beweis: proj. Modul $\Leftrightarrow$ $F = N \oplus N'$ frei
\subsection{Tensorprodukt}
Tensorprodukt: Definition und Beispiele
Satz 1: Tensorprodukt
Tensorprodukt-Äquivalenzen und Beweis
Tensorprodukt mit Idealen
\subsection{Flache Moduln}
Funktor $\otimes_R N$ mit Beispiel
Flacher Modul und 3 Bemerkungen
Projektive Moduln sind flach (drei-teiliger Beweis)
\subsection{Tensoralgebra}
Def: Algebra, 2 Funktoren, Beispiele
UAE von $R' \otimes_R R''$
Def: Tensoralgebra
\subsection{Symmetrische und äußere Algebra}
Def: symmetrische und alternierende Abbildungen
Satz 2: symmetrische und äußere Potenz
Satz: Struktur von $S^n(M)$ und $\Lambda^n(M)$
\subsection{Differentiale}
Def: Derivation mit Beispielen
Darstellbarkeit von $M \mapsto \mbox{Der}_R(A,M)$
2 Beispiele: $\Omega_{R[X_1,\ldots,X_n]/R}$ $\Omega_{\mathcal{C}^\infty(X)/R}$
$\Omega_{\cdot/R}$ ist rechtsexakter Funktor
\subsection{Der de\,Rham-Komplex}
Def+Satz: de\,Rham-Komplex
2 Beispiele zu $H_{dR}^i(A)$
\section{Noethersche Ringe und Moduln}
\subsection{Der Hilbertsche Basissatz}
Def+Bsp: noethersch
Satz+Bew: $0 \rightarrow M' \rightarrow M \rightarrow M'' \rightarrow 0$ noethersch Äquivalenz
Satz: Endlich erzeugbare Moduln über noetherschen Ringen
Drei Äquivalenzen zu noethersch
Satz: Hilbertsche Basissatz + zwei Folgerungen
\subsection{Ganze Ringerweiterungen}
Def: ganz, normiert, ganzer Abschluss, ganz abgeschlossen, normal; Satz zu normal
Äquivalenzen zu ganz
\subsection{Der Hilbertsche Nullstellensatz}
Satz 5: Hilbertsche Nullstellensatz
Def+Bsp: Verschwindungsideal, Nullstellenmenge + 2 Beispiele
Satz: Schwacher Nullstellensatz
Satz: Starker Nullstellensatz
\subsection{Graduierte Ringe und Moduln}
Def: graduierter Ring, homogen; 1 Bemerkung
Def: homogenes Ideal; 2 Bemerkungen
3 Beispiele zu homogenenn Idealen
Drei Äquivalenzen für noethersche graduierte Ringe
Def: graduierter $S$-Modul, graderhaltend, $\mbox{Grad}(\varphi)$, Twist
Satz: $\dim S_d^{(n)} = \cdots$ in $S = K[X_1,\ldots,X_n]$
Satz: Hilbert-Polynom
Def: Hilbert-Reihe mit 3 Beispielen
Satz 6': Hilbert-Reihe
\subsection{Invarianten endlicher Gruppen}
Def: Invariantenring, linear; 2 Beispiele
Satz: Endliche Erzeugbarkeit des Invariantenrings
Beispiel eines Invariantenrings
\subsection{Nakayama, Krull und Artin-Rees}
Def+Bem+Bsp: Jacobson Radikal
Satz: Lemma von Nakayama + Folgerungen und Beispiel
Proposition: Artin-Rees
Satz 9: Durchschnittssatz von Krull
Beispiele zu Artin-Rees
\subsection{Krull-Dimension}
Def+Bsp: Krull-Dimension
Bem: Krull-Dimension von nullteilerfreien Ringen
Satz 10: Primidealketten in Ringerweiterungen
Folgerung über Maximalität von Primidealen in Ringerweiterungen
Satz 11: Noether-Normalisierung
\subsection{Das Spektrum eines Rings}
Def+Bsp+Bem: Spektrum eines Rings
3 Bem zu Spektrum, Zariski-Topologie
Def: irreduzibel, Prop dazu mit Primideal
Folg: mit hausdorffsch, Def Verschwindungsideal + Folgerung
Def+Bem: Irreduzible Komponente
Prop: Spec als Funktor: Auswirkungen eines Ringhomomorphismus
\subsection{Diskrete Bewertungsringe}
Def: diskrete Bewertung + Beispiele
Def: Absolutbetrag und Geometrie: Kreis und Dreieck
Def+Bem: $\mathbb{Q}_p$ und $\mathcal{O}_v$ lokaler Ring
Def+Prop: Diskreter Bewertungsring
Satz 12: Diskrete Bewertungsringe + 1 Gegenbeispiel
\subsection{Dedekindringe}
Def: Dedekindring + 4 Beispiele
Def: gebrochenes Ideal, invertierbares Ideal, 5 Beispiele, 1 Bemerkung
Satz 13: Dedekindringe
Satz 14: Dedekindring und $L/K$ Körpererweiterung
\subsection{Primärzerlegung}
Def+Bem+Bsp: Primärideal
Def: $\mathfrak{p}$-primär Primärzerlegung, reduzierte
Satz 15: Reduzierte Primärzerlegung
\end{document}